(2)ラティス構造の均質化

新谷国隆 - 04.26.2024

概要

本技術ブログで、均質化の話題が何度か出ておりました。

(2)アディダス3DPシューズ解説：圧縮力をせん断変形に変換するメカニカルメタマテリアルの設計

メタマテリアルを均質化してみた

本記事では弾性体と流体（流路）の観点で、数値実験によるラティス構造の均質化方法と結果の可視化について紹介します。

本記事は後編で、流体（流路）の均質化について紹介します。

前編はこちら：(1)ラティス構造の均質化

なお、本記事ではAdditive Manufacturing前提となるようなラティスの均質化を紹介しておりますが、
クライアントワークにおいては、メタマテリアル構造設計技術を活用しつつ顧客の製造設備で量産可能な設計開発の支援を行うことが一般的です。

数値実験による流路の均質化

流路の均質化手法として多孔質モデルが一般的に知られています。
多孔質モデルを用いて周期的な流路を均質化する過程を紹介します。

定式化

多孔質体内部の流れにおける流速 $ \boldsymbol{v} $ はダルシーの法則（Darcy's law）により表現され、低レイノルズ数において圧力勾配に比例し粘性係数 $ \mu $ に反比例することが知られています。

$$
\begin{align*}
    {\boldsymbol{v}}=-\frac{\kappa}{\mu}\boldsymbol{\nabla}p
\end{align*}
$$

また、ダルシーの法則に慣性の寄与を加えて、圧力損失を速度に比例する粘性項と速度の二乗に比例する慣性項の和で表現したDarcy-Forchheimer equationもあります。

$$
\begin{align*}
    \nabla p=-\frac{\mu}{\kappa}v-\frac{\rho}{\kappa'}v^2
\end{align*}
$$

多孔質モデルではこれら速度と圧力勾配の関係式をそのまま支配方程式としたり、ナビエ-ストークス方程式の圧力ソース項に入れたりします。
今回は周期的な流路の圧力損失（圧力勾配）を、以下のようにナビエストークス方程式の圧力ソースに入れて定式化します。

$$
\begin{align*}
    (\boldsymbol{v}\cdot\nabla) \boldsymbol{v}
    =-\boldsymbol{\nabla} p - \mu\Delta \boldsymbol{v} - \mathbf{\alpha}\boldsymbol{v} - \beta|\boldsymbol{v}|\boldsymbol{v}
\end{align*}
$$

$ \alpha $ と $ \beta $ はは多孔質モデルの行列パラメータで、簡単のため定常非圧縮の流れを考えています。

数値実験による多孔質モデルのフィッティング

2次元のラティスを例に均質化過程を紹介します。

単位構造を取り出すと以下のようになります。

この単位構造の境界速度の周期境界を設定したうえで、下図のように各方向に圧力勾配を加え解析します。

解析した結果をいくつか図示します。

このように各方向の圧力勾配に対して速度場が得られます。

ここでは単位構造の解析をし結果を可視化しましたが、周期境界条件用いているため流路が周期的に繰り返した状況での解析となっています。

各圧力勾配の解析結果において、非流路部分も含めて速度の平均をとり見かけ速度を見積もります。

入力した圧力勾配とともに、解析結果から得られた見かけ速度を赤矢印の向きと大きさでマッピングすると以下のようになります。

この数値解析で得られた圧力勾配と見かけ速度の結果から、多孔質モデルの行列パラメータ $ \alpha $ と $ \beta $ を算出します。
定式化においてナビエストークス方程式の圧力ソース項に周期流路による圧力損失を入れ込むと説明しましたが、均質化した周期流路による圧力ソースはナビエストークス方程式における粘性項および慣性項より十分大きくなるという考えのもと、均質化のうえではDarcy-Forchheimer equation相当の式でフィッティングをします。

$$
\begin{align*}
    \boldsymbol{\nabla} p = - \mathbf{\alpha}\boldsymbol{v} - \beta|\boldsymbol{v}|\boldsymbol{v}
\end{align*}
$$

まずは圧力勾配の大きさが500Pa/m以下のデータのみを使用してフィッティングしてみます。
解析結果をもとに見かけの速度を入力、圧力損失を予測する値として線形回帰で $ \alpha $ と $ \beta $ を算出したうえで、"解析の入力圧力損失"と"速度から推定される圧力損失"および"入力圧力損失と推定圧力損失の誤差"をプロットすると以下のようになります。